どちらも同じだと思いがちな「羽」と「羽根」。
実は２つの言葉には明確な違いがあります。

羽と羽根の意味

「羽」は「鳥の全身を覆っている毛」や「鳥や昆虫が飛ぶために使う部分」を意味する言葉です。
「鳥の羽毛」や「鳥の翼・昆虫の翅（はね）」のことです。
また、「羽を模して作った翼状のもの」も「羽」です。
たとえば「飛行機の羽」などです。

一方、「羽根」は「鳥や昆虫から落ちた羽」を意味する言葉です。
たとえば、「赤いはね」や「緑のはね」は「羽根」です。
「羽子板の羽根」、「バトミントンの羽根」なども同様です。
また、扇風機のはねなど「プロペラ状のもの」も「羽根」です。

したがって「飛行機のはね」は「羽」、「ヘリコプターのはね」は「羽根」を使います。

また、慣用句に用いる時は「羽」が使われます。
たとえば、「羽を伸ばす」は「のびのびと自由に過ごす」という意味で「鳥が羽を伸ばして休んでいるさま」をたとえた慣用句です。
この他「羽が生えたように出ていく」、「羽を垂れる（＝平服すること）」、「羽を交わす（＝細やかな愛情で男女や夫婦が結ばれること）」などの慣用句にも使われています。
いずれも鳥の羽の動きを比喩的に用いた慣用句です。