使い分けに悩む「夏期」と「夏季」ですが、使われている漢字に着目すると、意味が理解しやすいです。

「夏期」は「夏の期間」を意味します。
「期」という字が使われているように、季節ではなく「期間」を意味しています。

「夏期」は「夏の期間」に行われることによく使います。
例えば「夏期講習」や「夏期研修」のように、夏に限らずにいつでも行えることですが、夏の期間に行われることに「夏期」を使います。
したがって、講習や研修が冬に行われる場合は「冬期講習」「冬期研修」となります。

一方、「夏季」は「夏の季節」を意味します。
こちらは期間ではなく、夏という「季節」を意味しています。
「夏季」は夏ならではの行事や出来事について使います。
例えば「夏季花火大会」や「夏季水泳大会」のように、夏の季節でなければ行えない、夏の季節ならではの行事の場合は「夏季」を使います。

まとめると、「夏期」は「期間」、「夏季」は「季節」を意味しているということです。